【sinx的n次方积分递推式】在数学中，计算函数 $ \sin^n x $ 的积分是一个常见的问题，尤其在微积分和物理中有着广泛的应用。对于不同次数的正弦函数，其积分结果会呈现出一定的规律性，可以通过递推公式进行简化计算。

以下是对 $ \int \sin^n x \, dx $ 的积分递推式的总结，并以表格形式展示不同 n 值下的积分表达式与递推关系。

一、积分递推式的推导思路

对于不定积分 $ I_n = \int \sin^n x \, dx $，我们可以通过分部积分法来推导其递推公式：

设

$$

I_n = \int \sin^n x \, dx

$$

令 $ u = \sin^{n-1} x $，$ dv = \sin x \, dx $，则

$$

du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx,\quad v = -\cos x

$$

根据分部积分公式：

$$

I_n = uv - \int v \, du = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx

$$

利用恒等式 $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $，代入得：

$$

I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx

$$

拆开后得到：

$$

I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)(I_{n-2} - I_n)

$$

整理得：

$$

I_n + (n-1)I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)I_{n-2}

$$

$$

n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)I_{n-2}

$$

最终得到递推公式：

$$

I_n = \frac{-\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}

$$

二、积分递推式总结表

三、使用说明

- 对于偶数次幂（如 n=2,4,6...），积分结果通常包含多项式项和三角函数项。

- 对于奇数次幂（如 n=1,3,5...），积分结果常含有 $ \sin^{n-1} x \cos x $ 项和较低次幂的积分项。

- 利用递推公式可以避免直接对高次幂进行复杂计算，提高效率。

四、小结

通过分部积分法，我们得到了 $ \int \sin^n x \, dx $ 的通用递推公式，该公式适用于任意正整数 n。结合具体的 n 值，可以进一步展开为具体的积分表达式。这种递推方法不仅简化了计算过程，也为数值计算和理论分析提供了便利。

注：以上内容为原创总结，旨在帮助理解 $ \sin^n x $ 的积分规律与递推关系。