【cos求导推导】在微积分中，对三角函数的求导是基本而重要的内容之一。其中，余弦函数（cos）的导数是一个基础知识点，掌握其推导过程有助于理解导数的基本原理和应用。以下是对 cosx 的导数 推导过程的总结与归纳。

一、导数定义回顾

函数 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处的导数定义为：

$$

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$$

对于 $ f(x) = \cos x $，我们有：

$$

\frac{d}{dx} \cos x = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}

$$

二、利用三角恒等式展开

根据余弦的加法公式：

$$

\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h

$$

代入导数表达式：

$$

\frac{d}{dx} \cos x = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}

$$

整理分子部分：

$$

= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}

$$

拆分为两个极限：

$$

= \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}

$$

三、使用已知极限结果

已知以下两个重要极限：

$$

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0

$$

$$

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1

$$

代入后得：

$$

\frac{d}{dx} \cos x = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x

$$

四、结论

因此，cosx 的导数是 -sinx。

五、总结表格

六、小结

通过上述推导可以看出，cosx 的导数是 -sinx，这一结论不仅适用于基础数学学习，也在物理、工程等实际问题中有广泛应用。理解其推导过程有助于加深对导数概念的理解，并为进一步学习更复杂的函数求导打下坚实基础。