【cos平方x的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数是常见的问题之一。对于函数 $ \cos^2 x $，虽然它看似简单，但直接积分并不容易，需要借助三角恒等式进行简化。本文将总结 $ \cos^2 x $ 的原函数，并以表格形式展示关键步骤与结果。

一、原函数定义

原函数是指对给定函数进行不定积分后得到的函数。若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的原函数，则有：

$$

\int f(x) \, dx = F(x) + C

$$

其中 $ C $ 为积分常数。

二、cos²x 的积分方法

由于 $ \cos^2 x $ 是一个平方项，无法直接使用基本积分公式，因此需利用三角恒等式将其转换为更易积分的形式。

1. 使用降幂公式

根据三角恒等式：

$$

\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

$$

这样，原函数可以转化为：

$$

\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx

$$

2. 分项积分

将上式拆分为两部分：

$$

= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx

$$

分别计算两个积分：

- $ \int 1 \, dx = x $

- $ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) $

代入得：

$$

\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C

$$

三、总结与表格

四、结论

通过三角恒等式和基本积分规则，我们成功求出了 $ \cos^2 x $ 的原函数。最终结果为：

$$

\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C

$$

该过程体现了数学中常见的“化繁为简”思想，也展示了如何通过已知公式解决复杂问题。