【arctanx的原函数怎么算】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一项基本而重要的任务。对于函数 $ \arctan x $，虽然它本身并不是一个常见的初等函数，但通过分部积分法，我们可以找到它的原函数。本文将总结如何计算 $ \arctan x $ 的原函数，并以表格形式进行归纳。

一、方法概述

计算 $ \int \arctan x \, dx $ 的关键在于使用分部积分法（Integration by Parts）。其公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

在本题中，我们设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则有：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入分部积分公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，我们对第二项进行积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，所以 $ x dx = \frac{1}{2} dt $，代入得：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、步骤总结表

三、结论

通过分部积分法，我们成功地找到了 $ \arctan x $ 的原函数。该过程体现了数学中常用的技巧——将复杂函数拆解为更易处理的部分，再逐步求解。理解这一过程有助于掌握更多类似函数的积分方法。

四、注意事项

- 在实际应用中，需注意常数项 $ C $ 的添加。

- 若需要计算定积分，可将上下限代入上述表达式进行计算。

- 该方法也可推广至其他反三角函数的积分问题中。

如需进一步了解相关函数的积分方法，可继续研究如 $ \arcsin x $、$ \arccos x $ 等的原函数求法。