【arctanx的不定积分】在微积分中，求解函数的不定积分是常见的问题之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $，其不定积分虽然不是基本初等函数，但可以通过分部积分法进行推导。以下是对 $ \arctan x $ 不定积分的总结与整理。

一、不定积分公式

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

其中，$ C $ 是积分常数。

二、推导过程简述

使用分部积分法：

设

$$

u = \arctan x, \quad dv = dx

$$

则

$$

du = \frac{1}{1 + x^2} dx, \quad v = x

$$

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

对后一项积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、关键点总结

四、注意事项

- 在实际应用中，若需计算定积分，可将上下限代入上述表达式。

- 该积分结果也可通过数值方法或计算器验证。

- 若对 $ \arctan x $ 进行更高阶的积分，可继续使用分部积分法逐步展开。

五、小结

$ \arctan x $ 的不定积分是一个经典问题，其解法体现了分部积分法在处理非初等函数时的实用性。掌握这一积分技巧有助于更深入理解反三角函数的性质及在积分中的应用。