【arccosx的积分怎么算】在数学中，计算反三角函数的积分是常见的问题之一。其中，arccosx 的积分是一个典型的例子，可以通过分部积分法来求解。本文将对 arccosx 的积分进行详细总结，并以表格形式展示关键步骤和结果，帮助读者更清晰地理解这一过程。

一、arccosx 积分的基本思路

arccosx 是一个反余弦函数，其定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]。要计算 ∫ arccosx dx，可以使用分部积分法（Integration by Parts），即：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们设：

- $ u = \arccos x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $

- $ v = x $

代入公式得：

$$

\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \int x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) dx

$$

$$

= x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx

$$

接下来，我们对后一项积分进行求解。

二、∫ x / √(1 - x²) dx 的求解

令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $

代入得：

$$

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C

$$

三、最终结果

将上述结果代回原式，得到：

$$

\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C

$$

四、总结与表格

五、注意事项

- 积分结果中包含常数项 $ C $，表示不定积分的通解。

- 若为定积分，则需代入上下限进行计算。

- 在实际应用中，建议结合图形或数值方法验证积分结果是否合理。

通过以上分析可以看出，arccosx 的积分虽然涉及反三角函数，但通过分部积分法可以较为系统地推导出结果。掌握这一方法对于学习高等数学和工程计算具有重要意义。