arccosxdx的积分怎么求
发布时间：2025-12-22 04:42:26来源：
【arccosxdx的积分怎么求】在微积分中，计算反三角函数的积分是常见的问题之一。其中，arccosx 的不定积分（即 ∫ arccosx dx）是一个典型的积分题型，可以通过分部积分法来求解。下面将对这一积分过程进行总结，并以表格形式清晰展示关键步骤与公式。
一、积分方法概述
目标积分：
$$
\int \arccos x \, dx
$$
方法：
使用分部积分法（Integration by Parts），即：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
二、分部积分步骤详解
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 设 $ u = \arccos x $，则 $ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ |
| 2 | 设 $ dv = dx $，则 $ v = x $ |
| 3 | 应用分部积分公式：$ \int \arccos x \, dx = x \arccos x - \int x \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) dx $ |
| 4 | 化简后得：$ x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ |
| 5 | 对 $ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ 使用换元法：令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $ |
| 6 | 代入后得：$ -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C $ |
三、最终结果
将上述步骤合并，得到：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
四、总结表
| 项目 | 内容 |
| 积分表达式 | $ \int \arccos x \, dx $ |
| 方法 | 分部积分法 + 换元法 |
| 关键变量设定 | $ u = \arccos x $，$ dv = dx $ |
| 结果 | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| 注意事项 | 需注意符号变化，特别是分部积分后的负号 |
通过以上分析可以看出，虽然 arccosx 是一个非初等函数，但其积分可以通过标准的分部积分和换元技巧完成。掌握这类积分方法，有助于提高对复杂函数积分的理解与应用能力。
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