10个常用麦克劳林公式
发布时间：2025-11-30 16:42:44来源：
【10个常用麦克劳林公式】在数学分析中，麦克劳林公式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特例，广泛应用于近似计算、函数展开和极限求解。掌握常用的麦克劳林展开式对于学习高等数学、微积分和物理等学科具有重要意义。以下总结了10个常见的麦克劳林公式，便于理解和应用。
一、
麦克劳林级数是将一个函数在原点附近用无限项多项式表示的方法。它通过函数在原点处的各阶导数值来构造展开式。这些展开式不仅有助于理解函数的局部行为，还能用于数值计算和理论推导。以下是10个常见函数的麦克劳林展开式，适用于不同应用场景，如近似计算、误差估计和函数分析。
二、表格展示：10个常用麦克劳林公式
| 函数 | 麦克劳林展开式（至 $ x^5 $） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ (1+x)^a $ | $ 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、小结
以上10个麦克劳林公式涵盖了指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数以及广义幂函数等常见类型，适用于多种数学问题的解决。在实际应用中，可以根据需要截断级数，得到近似值，从而简化复杂计算。熟练掌握这些公式，有助于提升数学分析能力和工程计算效率。
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