【105的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等的三角函数值较为常见，但一些特殊角度如105°的三角函数值也具有一定的应用价值。105°可以看作是60°与45°之和，因此可以通过三角函数的加法公式进行计算，从而得出其正弦、余弦和正切值。

一、105°的三角函数值推导

105° = 60° + 45°

利用三角函数的和角公式：

- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB

- cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB

- tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB)

代入 A = 60°, B = 45°：

1. 正弦（sin105°）

$$

\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin60^\circ \cos45^\circ + \cos60^\circ \sin45^\circ

$$

$$

= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

$$

2. 余弦（cos105°）

$$

\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos60^\circ \cos45^\circ - \sin60^\circ \sin45^\circ

$$

$$

= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$$

3. 正切（tan105°）

$$

\tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan60^\circ + \tan45^\circ}{1 - \tan60^\circ \tan45^\circ}

$$

$$

= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}

$$

为了化简，可将分子分母同时乘以 $1 + \sqrt{3}$：

$$

= \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}

$$

二、105°的三角函数值总结表

三、注意事项

- 105°位于第二象限，因此正弦为正，余弦为负，正切也为负。

- 在实际应用中，若需要数值近似值，可使用计算器或查表工具进行估算。

- 105°的三角函数值也可通过其他方式推导，例如将其表示为180° - 75°，再利用诱导公式进行计算。

掌握这些特殊角度的三角函数值，有助于提高解题效率，并加深对三角函数性质的理解。